Introduzione 

La stima degli incrementi periodici degli alberi e del bosco costituisce un elemento informativo essenziale per la comprensione delle dinamiche ecologiche e per una corretta gestione forestale. L’analisi delle relazioni esistenti fra accrescimento e parametri ambientali, infatti, può permettere di comprendere quali siano i principali fattori limitanti per la crescita e la fissazione di carbonio degli ecosistemi, e di calibrare e validare strumenti di simulazione. Ancora più rilevante, però, è il ruolo delle stime incrementali nella gestione e nella politica forestale. Una volta estrapolata a livello di intero popolamento, infatti, la stima dei tassi di incremento costituisce un utile indice per la definizione della ripresa sostenibile, e quindi per l’organizzazione della gestione tanto a livello aziendale quanto a scala di intera filiera ([8], [2]). A scala regionale e nazionale, la stima degli incrementi correnti entra a far parte di tutti i protocolli per l’inventariazione e il monitoraggio delle risorse forestali ([18], [9], [4]). Tale stima risulta però molto più laboriosa e incerta di quella della provvigione del bosco; mentre gli incrementi netti devono essere rilevati attraverso inventari successivi su parcelle permanenti ([13]), gli incrementi lordi possono anche essere valutati indirettamente da misure retrospettive di crescita radiale (ed eventualmente longitudinale) su un opportuno insieme di alberi campione, tramite la stima dell’incremento percentuale di massa legnosa ([3]); tale metodo è però affetto da svariate fonti di errore, legate non solo all’incertezza nelle misure primarie rilevate, ma anche alle approssimazioni introdotte nei metodi di stima ([6]).

Obiettivo del presente studio è l’analisi degli errori associati ai metodi indiretti comunemente utilizzati in Italia negli inventari forestali nazionali e regionali; saranno analizzati il metodo combinato esplicito proposto da Hellrigl ([6], [7]), nella modalità a periodo costante così come applicata nell’Inventario Nazionale delle Foreste e dei Serbatoi Forestali di Carbonio per la stima degli incrementi degli alberi campione e del bosco ([4]), e la sua variante applicata nel primo Inventario Forestale Nazionale ([11]). Sarà infine proposto un nuovo approccio volto a minimizzare gli errori sistematici associati alle metodologie attualmente in uso.

Materiali e metodi 

Il metodo combinato esplicito

Nella sua formulazione originale, il metodo combinato esplicito ([6], [7]) si scosta dai metodi di Schneider, di Pressler e di Mayer-Lötsch comunemente applicati in dendrometria ([3]) per il fatto di considerare esplicitamente il contributo all’incremento percentuale di volume derivante dall’accrescimento in altezza. Come negli altri due metodi, vengono trascurate le variazioni con l’età nel coefficiente di forma del fusto. L’incremento periodico di volume del fusto Δv₁₂ fra il tempo t₁ e il tempo t₂ viene quindi stimato come (Modello Combinato Esplicito, MCE - eqn. 1):

dove v₂, d₂ e h₂ sono il volume, il diametro a petto d’uomo e l’altezza dell’albero al tempo t₂, rilevati o stimati dalle misure in bosco, e Δd₁₂ e Δh₁₂ sono gli incrementi periodici di diametro e di altezza fra il tempo t₁ e il tempo t₂, rispettivamente. Mentre l’incremento periodico di diametro può essere misurato direttamente su carote legnose estratte dal fusto, l’incremento in altezza è in genere stimato. Nel caso dei due inventari nazionali tale stima deriva dalle curve ipsometriche sviluppate per le singole specie su un ampio campione di alberi modello, una volta noto l’incremento diametrico ([11], [4]); si sottolinea peraltro come questo metodo di determinazione dell’incremento in altezza tenda a generare valori sempre sottostimati nel caso di soprassuoli coetanei maturi ([10]).

Come tutti gli altri metodi retrospettivi, la formula di Hellrigl si basa sul metodo di Eulero per l’integrazione su intervalli finiti di tempo. Considerando il caso di una sola variabile indipendente (diametro o altezza) per ragioni di semplicità, la formula applicata nel metodo di integrazione di Eulero è ([12] - eqn. 2):

dove y₁ e y₂ sono il valore della variabile dipendente (il volume, nel nostro caso) al tempo t₁ e t₂, rispettivamente, x₂ è il valore della variabile indipendente (diametro o altezza) al tempo t₂, Δx è la variazione della variabile indipendente nell’intervallo di tempo tra t₁ e t₂ e f rappresenta la funzione di risposta della variabile dipendente y alla variabile indipendente x, determinata dal valore di entrambe le variabili all’istante t₂. L’equazione è facilmente estendibile al caso di più variabili indipendenti, applicando il metodo delle derivate parziali ([17]).

La formula applicata nelle eqn. 1 e 2 è asimmetrica, dal momento che, pur integrando le variazioni sull’intero intervallo da t₂ a t₁, utilizza per la stima della funzione di risposta f il solo valore delle variabili al termine di questo intervallo. Questo determina un errore significativo della stima; trattandosi di una funzione crescente, come notato da Hellrigl ([7]), questo risulta in una sovrastima degli incrementi periodici di volume tanto maggiore quanto più grande è la variazione periodica della variabile indipendente; l’errore sarebbe invece negativo, portando a una sottostima degli incrementi, se venisse adottato il tempo t₁ come istante di riferimento.

Il metodo combinato esplicito è stato applicato in una forma leggermente modificata nell’Inventario Forestale Nazionale ([11]). Il calcolo dell’incremento relativo di diametro e di altezza è stato eseguito rapportando la variazione periodica assoluta al valore medio delle grandezze nel periodo di riferimento, mantenendo però il riferimento al montante al tempo t₂ per il volume (modello IFN - eqn. 3):

dove d_m = (d₂ -Δd₁₂/2) e h_m = (h₂ - Δh₁₂/2) sono il diametro e l’altezza medi nel periodo di riferimento.

Il metodo combinato esplicito è stato invece applicato nella sua forma originale nell’Inventario Nazionale delle Foreste e dei Serbatoi Forestali di Carbonio ([4]), con l’unico accorgimento di rapportare gli incrementi relativi di diametro e altezza ai valori corrispondenti a un anno prima del rilievo inventariale.

Una proposta di modifica al metodo combinato esplicito

L’errore derivante dall’applicazione del metodo combinato esplicito può essere ridotto attraverso l’applicazione di una procedura analoga al metodo di Runge-Kutta o del punto mediano ([12]), comunemente applicato nel calcolo numerico. Il metodo consiste nel calcolare il valore della funzione di risposta f nel punto mediano t_m dell’intervallo temporale considerato t_m = (t₁ + t₂)/2, anziché in uno degli estremi. Rispetto al metodo di Eulero, questo risulta in una sostanziale riduzione dell’errore. Essendo però f determinata dal valore delle variabili, il metodo richiede di conoscere il loro valore al tempo t_m .

Nel caso specifico, il metodo consiste nella stima dell’incremento di volume come (eqn. 4):

dove pv è l’incremento percentuale di volume nel periodo considerato, v_m, d_m ed h_m sono il volume, il diametro e l’altezza dell’albero al tempo mediano t_m. Se gli ultimi due termini possono essere facilmente stimati a partire dalle misure sulle carote estratte dal fusto, il volume al tempo mediano non è noto, essendo pari in prima approssimazione a (eqn. 5):

Combinando insieme le due precedenti equazioni, l’incremento periodico di volume del singolo albero può essere espresso come (modello combinato modificato, MCM - vedi Appendice 1 - eqn. 6, eqn. 7):

Validazione dei modelli

L’errore introdotto nella stima dell’incremento periodico di volume dai tre modelli sopra descritti (modello MCE, eqn. 1; modello IFN, eqn. 3; modello MCM, eqn. 6, eqn. 7) è stato valutato attraverso la loro applicazione alle misure di analisi del fusto di von Guttenberg ([5]), messe a disposizione dal Prof. Boris Zeide ([23], [14]). Il dataset riporta lo sviluppo temporale del volume del fusto di 107 alberi modello di abete rosso (Picea abies Karst.) in cinque stazioni delle Alpi, così come stimato per intervalli di 10 anni da analisi del fusto; i dati costituiscono uno standard nell’analisi auxometrica, essendo stati ripetutamente impiegati per la valutazione di modelli di crescita ([1], [16], [22], [23]).

Per ogni albero e per ogni intervallo di 10 anni, l’incremento periodico di volume è stato stimato con i tre modelli a partire dalle variazioni di diametro e di altezza rilevate nell’intervallo. La misura delle variazioni di diametro sotto corteccia derivano dalla lettura delle cerchie annuali nell’analisi del fusto, con metodo comparabile alla lettura su carote legnose fatta nei due inventari nazionali. A differenza di quanto fatto nei due inventari, però, si è fatto riferimento all’altezza misurata invece che a quella stimata da curve ipsometriche per la specie, così da valutare l’errore sistematico introdotto dai modelli stessi, in assenza di errori di misura nelle variabili indipendenti.

Analisi statistiche

La bontà della stima di ogni modello è stata espressa in termini della frazione di varianza spiegata (R²), della radice dell’errore quadratico medio della stima (RMSE) e delle componenti sistematica (MSE_s) e non sistematica (MSE_u) dell’errore quadratico medio della stima (mean squared error, MSE - [20], [19] - eqn. 8, eqn. 9, eqn. 10):

dove y e y_p sono i valori misurati e predetti della variabile dipendente (in questo caso l’accrescimento periodico di volume), N è il numero di osservazioni e ÿ è il valore di y_p atteso sulla base della regressione lineare contro i valori osservati (ÿ = a+by).

Alla luce di un’analisi preliminare delle caratteristiche dei residui dei modelli, l’analisi parametrica è stata inoltre integrata da un’analisi non parametrica per ranghi. Tutte le analisi statistiche sono state condotte utilizzando il programma statistico SAS 8.2 ([15]).

Risultati e discussione 

L’ampiezza del dataset di Guttenberg impiegato per la validazione dei tre metodi, in termini di età, dimensioni degli alberi e tassi di crescita (Fig. 1) permette di ritenere che i risultati dell’analisi abbiano una valenza generale. Il volume dei singoli alberi all’età di 140 anni varia nel dataset fra 0.1 e 3.9 m³, con altezze comprese fra 11.1 e 43.5 m e diametri fra 17.7 e 55.4 cm. Oltre agli effetti di differenze inter-individuali legate alla classe sociale degli alberi, buona parte di questa variabilitàè da attribuirsi a differenze di fertilità fra le cinque stazioni campionate (evidenziate con diversi colori in Fig. 1). Gli incrementi diametrici annui sono compresi fra 1.1 e 0.07 cm a^-1 e, come atteso, mostrano un forte decremento all’aumentare dell’età dell’albero. I valori di incremento corrente di volume per albero stimati dall’analisi del fusto vanno da 0.2 a 43.5 dm³ a^-1.

Questa ampia variabilità nei tassi di incremento viene ben catturata in prima approssimazione da tutti e tre i metodi proposti (Fig. 2), ma con differenze significative fra l’uno e l’altro. Sulla base di una prima analisi parametrica, la frazione della varianza totale spiegata dai tre modelli è risultata pari al 96% (MCE), 93% (IFN) e 98% (MCM). L’analisi dei residui ha dimostrato peraltro che per tutti e tre i modelli questi non sono distribuiti normalmente (test di Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov), né è rispettata la condizione di omoscedasticità (analisi visiva e test di White); gli errori sono inoltre risultati essere parzialmente auto-correlati (test Durbin-Watson), soprattutto nel caso del modello IFN (D = 0.89) e MCE (D = 1.07), e in misura nettamente minore nel caso del modello MCM (D = 1.34); presumibilmente questo è legato al raggruppamento dei dati per alberi all’interno del dataset, e alla ridotta adeguatezza dei primi due modelli nel caso di alcuni alberi in particolare. Non essendo rispettate le condizioni per l’analisi parametrica della correlazione ([21]), è stata pertanto condotta un’analisi non parametrica (correlazione per ranghi di Spearman) che ha confermato i risultati sopra riportati (Tab. 1).

Il metodo IFN sembra comportare i maggiori errori, con deviazioni massime dal valore osservato che arrivano fino a 0.20 m³ per albero nell’arco di un decennio (contro 0.12 e 0.08 m³ per albero nel caso dei metodi MCE e MCM). Come dimostrato dalle rette di regressione, tutti i metodi mostrano un errore tendenzialmente positivo, sovrastimando quindi gli incrementi rispetto ai valori osservati. L’analisi della covarianza dimostra però che questo effetto non è statisticamente significativo nel caso del metodo MCM, mentre la pendenza della retta di regressione è significativamente diversa da uno (sovrastima significativamente positiva) negli altri due modelli (Tab. 1). Tutti i modelli mostrano inoltre un’intercetta maggiore di zero, più marcata nel caso dei modelli MCE e soprattutto IFN. Più marcato appare nel complesso l’errore associato al metodo IFN, applicato nel primo inventario nazionale, a causa del riferimento a due diversi punti dell’intervallo nel caso delle variabili dipendenti (altezza e diametro) e della variabile indipendente (volume - eqn. 3).

Come atteso su basi teoriche, nei due modelli basati sul metodo di Eulero l’errore nella stima dell’incremento di volume per albero è proporzionale alla variazione periodica delle variabili indipendenti, diametro e altezza (Fig. 3). L’ammontare degli errori e la loro sensitività agli incrementi diametrici periodici sono particolarmente alti nel metodo IFN: oltre all’errore implicito nel metodo di Eulero, infatti, il modello IFN rapporta le variazioni periodiche ai valori di diametro e altezza a metà del periodo (più bassi per definizione) e quindi sovrastima ulteriormente l’incremento percentuale, tanto più quanto maggiore è la distanza fra i due estremi del periodo. L’errore commesso è quindi tanto maggiore quanto più rapido è l’accrescimento diametrico dell’albero (Δd) e sarà quindi particolarmente sensibile in alberi giovani. Sarà inoltre tanto maggiore quanto più lungo è l’intervallo temporale considerato (10 anni nel caso del dataset di Guttenberg, 5 anni nel caso dei due inventari nazionali). In termini di errore percentuale la durata del periodo di integrazione avrà una rilevanza inferiore, essendo anche l’incremento di volume proporzionale al numero di anni considerato.

Grazie all’applicazione del metodo del punto mediano, il metodo migliorato MCM risulta invece in errori che sono non solo più contenuti ma anche insensibili all’ammontare degli incrementi.

L’analisi statistica permette di meglio quantificare l’ammontare degli errori commessi con i tre metodi (Tab. 1). In particolare, i valori di RMSE forniscono una stima dell’errore mediamente commesso nella stima dell’incremento nell’arco di 10 anni, che varia fra 13 dm³ per albero nel metodo MCM e 37 dm³ per albero nel caso del metodo IFN; questo è dovuto tanto a un errore non sistematico (eliminabile a scala di soprassuolo o territoriale con l’applicazione a un elevato numero di unità campionarie) quanto a un errore sistematico, come dimostrato dal confronto fra le due componenti (MSE_s e MSE_u) dello scarto quadratico medio. In particolare, il nuovo modello proposto (MCM) permette di ridurre drasticamente la componente sistematica dell’errore (MSE_s), che è pari solo al 6.7% dell’errore complessivo del modello. Questo appare di particolare rilevanza nell’estrapolazione del metodo a scala di soprassuolo e nazionale, dove l’elevata numerosità del campione statistico permette comunque di ridurre gli effetti della sola componente non sistematica dell’errore.

Per quanto detto, risulta raccomandabile applicare il nuovo metodo combinato esplicito modificato (MCM - eqn. 6) nella stima dell’incremento periodico di volume dei singoli alberi, così come nella stima dell’incremento percentuale da estrapolare poi a scala di intero popolamento a scopi inventariali. Resta da capire quale sia stato l’errore introdotto nei passati inventari nazionali dall’impiego dei metodi MCE e IFN per la stima degli incrementi lordi dei boschi italiani e dalla interazione di tali errori con il fatto che l’incremento in altezza non è misurato bensì stimato in base a curve ipsometriche statiche.

References

Supplementary Material

Sviluppo esplicito del modello combinato modificato (MCM, eqn. 6)